Wyobraźmy sobie przyjęcie, na którym znajduje się większa liczba gości. Co do zasady, zakłada się, że w dowolnej grupie sześciu osób znajdą się co najmniej trzy osoby, które się znają lub trzy, które się nie znają. Można zatem założyć, że r(3,3) jest równe sześć.
Według badacza Jacquesa Verstraete’a z Uniwersytetu Kalifornijskiego w San Diego, nie ma znaczenia, jaką 6-osobową grupę gości wybierzemy. Niezależnie od sytuacji, znajdziemy w tej grupie trzy osoby, które się znają lub trzy, które się nie znają. Naturalnie może się zdarzyć, że takich osób będzie więcej, ale liczba trzy w takiej sześcioosobowej grupie jest liczbą minimalną, jeżeli chodzi o liczbę osób znających/nieznających się.
Co jednak robi matematyk, gdy już ustali, że r(3,3) = 6? Natychmiast pojawia się chęć sprawdzenia, jak zmieni się sytuacja w przypadkach r(4,4), r(5,5) i r(4,t), gdzie w tym ostatnim przypadku liczba niepołączonych punktów jest zmienna. Dzięki determinacji badaczy takich jak Paula Erdös i George Szekeres w latach trzydziestych XX wieku udało się ustalić, że dla r(4,4) rozwiązanie wynosi 18. Od tego czasu jednak nie udało się dokonać dalszego postępu w rozwiązywaniu tej zagadki. Wychodzi zatem na to, że choć twierdzenie Ramseya ma już blisko sto lat, to ostatnie postępy w jego rozwiązaniu odnotowano jeszcze przed II wojną światową.
Tak się jednak składa, że r(5,5) okazało się dla matematyków znacznie większym wyzwaniem. Można sobie zadać pytanie, co może być tak trudnego w rozwiązaniu tego problemu? Naukowcy tłumaczą to w następujący sposób: jeżeli wiemy, że rozwiązanie tego równania mieści się na przykład w przedziale 40-50, to przy 45 punktach będziemy musieli wziąć pod uwagę ponad 10 tysięcy różnych wykresów, a to już całkiem sporo. Z tego względu, zamiast szukać dokładnego rozwiązania, naukowcy postanowili teraz oszacować wynik.
Co istotne, w 2019 roku Verstraete we współpracy z Dhruv Mubayim, rozwiązał wykres dla r(3,t). Później do badań dołączył Sam Mattheus, który ma doświadczenie w geometriach skończonych. W takim składzie szanse naukowców na rozwiązanie zagadki zdecydowanie wzrosły. Jak się okazało, graf pseudolosowy potrzebny do osiągnięcia sukcesu można znaleźć właśnie w dziale geometrii skończonych.
W toku swoich prac matematycy doszli do wniosku, że rozwiązanie dla r(4,t) jest bliskie funkcji sześciennej t. Z tego względu, chcąc zorganizować przyjęcie, na której zawsze będą cztery znające się osoby lub t osób, które się nie znają, będziemy musieli zaprosić około t3 osób. Nie jest to co prawda dokładny wynik, ale badacze wskazują, że jest to wartość bliska właściwemu rozwiązaniu. Wyniki swoich prac naukowcy opublikowali w formie preprintu, który wkrótce zostanie opublikowany w periodyku Annals of Mathematics. Jeżeli środowisko matematyków uzna wyniki za właściwe, możemy się spodziewać, że inni badacze zabiorą się teraz za poszukiwanie rozwiązań twierdzenia dla r(5,5).