Nowe badanie sugeruje jednak coś więcej niż kolejne potwierdzenie klasyki. Dwaj ekonomiści-matematycy związani z Caltech i Princeton pokazali, że rozkład Boltzmanna nie jest po prostu wygodny. W pewnym sensie jest jedynym sensownym wyborem, jeśli chcemy, aby teoria poprawnie opisywała układy niepowiązane, czyli takie, w których jedna część nie wpływa na drugą. A żeby to udowodnić, sięgnęli po dowód brzmiący jak zagadka z konkursu matematycznego: szalone kości do gry.
O co chodzi z rozkładem Boltzmanna?
Rozkład Boltzmanna mówi, z jakim prawdopodobieństwem układ termiczny znajduje się w stanie o danej energii w temperaturze T. W praktyce: im wyższa energia stanu, tym rzadziej układ tam bywa, i to w ściśle określony, wykładniczy sposób.
To prawo jest tak użyteczne, bo pozwala przewidywać cechy makroskopowe bez śledzenia mikroskopowego chaosu. Co ciekawe, w ekonomii bardzo podobna matematyka opisuje wybory konsumentów – tam znana jest jako model multinomial logit. Zamiast cząsteczek i energii mamy ludzi i preferencje, ale pojawia się ten sam typ rozkładu prawdopodobieństw.
Pytanie badaczy brzmiało: czy da się zbudować inną teorię, która nadal zachowuje zdrowy rozsądek w kluczowym miejscu – w sytuacji, gdy mamy dwa niezależne procesy? Jeśli wybór płatków śniadaniowych nie ma nic wspólnego z wyborem mydła, to model nie powinien wymyślać między nimi związku.
Szalone kości jako test sensowności teorii
Tu wchodzi analogia z kośćmi. Jedna kość to jeden losowy proces. Dwie kości to dwa procesy niezależne. Jeśli rzucasz dwiema zwykłymi kośćmi i zapisujesz sumę oczek, dostajesz znany rozkład wyników: 7 wypada częściej niż 2, bo da się je uzyskać na więcej sposobów.
W 1977 roku George Sicherman pokazał jednak coś przewrotnego: istnieje para dziwnych kości (z nietypowymi wartościami na ściankach), która daje dokładnie taki sam rozkład sum jak zwykłe kości. Innymi słowy: patrząc wyłącznie na sumy, nie odróżnisz uczciwych kości od szalonych – a przecież to inne obiekty.
Badacze potraktowali to jako matematyczny poligon. Jeśli jakaś teoria prawdopodobieństwa psuje niezależność układów, to w takich konstrukcjach zacznie się wykładać – zacznie przewidywać inne rozkłady dla sytuacji, które z założenia powinny być nierozróżnialne na poziomie agregatu (w tym przypadku sum). Oni znaleźli sposób, by budować całą rodzinę takich testów i sprawdzać, które reguły przechodzą je bez wpadki.
Wynik jest mocny: jeśli wymagamy, by teoria poprawnie traktowała układy niepowiązane, to zostaje nam w zasadzie jedna możliwość – rozkład Boltzmanna. A w ekonomicznym języku: jeśli chcemy modelu, który nie wprowadza fałszywych zależności między niezależnymi wyborami, to multinomial logit okazuje się jedyną spójną opcją w tej klasie założeń.
Co to zmienia w praktyce?
Rozkład Boltzmanna działał i działa. Nowość polega na innym rodzaju pewności: dostajemy argument, dlaczego ta postać prawa nie jest historycznym przypadkiem ani tylko najwygodniejszą funkcją, ale wynika z żądania spójności dla niezależnych układów.
W fizyce to ma znaczenie metodologiczne: kiedy upraszczamy model, często zakładamy rozdzielność (że pewne części układu można traktować osobno). Wynik sugeruje, że jeśli chcemy, by takie uproszczenia nie generowały nonsensów, to bardzo trudno uciec od boltzmannowskiej logiki.
W ekonomii i naukach o decyzjach to jeszcze bardziej praktyczne. Tam ciągle toczy się spór, kiedy klasyczny logit jest za prosty, a kiedy alternatywy zaczynają produkować artefakty, w tym nieintuicyjne zależności między niezwiązanymi wyborami. To badanie dokłada do tej dyskusji matematyczny hamulec: część alternatyw może być elegancka na papierze, ale traci podstawową cechę zdrowego rozsądku.
Jest w tym wszystkim coś bardzo odświeżającego: zamiast kolejnego cudu z laboratorium dostajemy dowód, że czasem najtwardsze prawa świata wynikają z prostej zasady higieny myślenia. Jeśli dwa zjawiska są od siebie niezależne, to model nie powinien udawać, że nagle zaczynają się porozumiewać. I właśnie w tym miejscu rozkład Boltzmanna przestaje być tylko historycznym sukcesem fizyki, a staje się czymś w rodzaju testu uczciwości teorii. Szalone kości są tu idealną metaforą: natura nie musi być intuicyjna, ale powinna być spójna, a spójność bywa bardziej bezlitosna niż jakakolwiek elegancja.