Odkrycie przyniosło odpowiedź na kluczowe pytanie, dlaczego niektóre losowe ścieżki wydają się pamiętać swoją przeszłość, podczas gdy inne całkowicie o niej zapominają. Ta odpowiedź może w przyszłości znacząco wpłynąć na sposób, w jaki naukowcy modelują rozmaite zjawiska – od mikroskopijnego ruchu cząstek po skomplikowane dynamiki społeczne.
Błądzenie losowe w życiu codziennym
Błądzenie losowe to matematyczny opis ścieżki, która powstaje w wyniku sekwencji przypadkowych wyborów. Można to porównać do sytuacji, gdy stoimy na skrzyżowaniu i za każdym razem rzucamy monetą, aby zdecydować, w którą stronę pójść. Powtarzając tę procedurę wielokrotnie, tworzymy właśnie taki proces.
Ta z pozoru prosta koncepcja ma niezwykle szerokie zastosowanie w wielu, czasem zaskakujących, dziedzinach. Biolodzy używają jej do modelowania wędrówek zwierząt w poszukiwaniu pożywienia, fizycy opisują nią dyfuzję cząstek w cieczy, a informatycy implementują algorytmy oparte na tej teorii w różnorodnych programach.
Z procesami błądzenia losowego zetknął się praktycznie każdy, kto grał w gry takie jak Minecraft, Diablo, Slay the Spire czy Hades. To właśnie one odpowiadają za generowanie losowych, nigdy niepowtarzających się lochów i krajobrazów.
Zagadka pamięci procesów losowych
Sednem problemu, który męczył matematyków przez lata, była kwestia „pamięci”. Niektóre błądzenia losowe zachowują się tak, jakby miały świadomość swoich poprzednich kroków i unikały spotkania z innymi, podobnymi ścieżkami. Inne natomiast kompletnie ignorują swoją historię, ostatecznie zbiegając się z procesami, które zaczęły się w zupełnie innych miejscach.
Omer Tamuz z Caltech, badacz łączący ekonomię z matematyką, tłumaczy to zjawisko przez analogię do ewolucji społeczeństw. Wyobraźmy sobie dwie cywilizacje: jedna dynamicznie się rozwija technologicznie, druga zaś zmaga się z katastrofą naturalną. Pytanie brzmi, czy ta przepaść między nimi będzie się powiększać, czy z czasem zaniknie? W świecie matematyki od dawna wiedziano, że istnieją zarówno grupy procesów zachowujące pamięć, jak i te, które ją tracą, ale nikt nie potrafił precyzyjnie określić, co o tym decyduje.
Geometria wektorowa jako klucz do sukcesu
Przełomu dokonał zespół złożony z Omera Tamuza, Joshuy Frischa, Yaira Hartmana i Pooyi Vahidiego Ferdowsiego. Sekretem okazało się nieoczywiste połączenie algebry z geometrią wektorową. Naukowcy zidentyfikowali specyficzne kryterium geometryczne, które pozwala podzielić wszystkie błądzenia losowe na dwie grupy: te, które zawsze będą dążyły do spotkania z innymi procesami, i te, które zachowają swoją odrębność.
To interdyscyplinarne podejście, czerpiące z teorii prawdopodobieństwa, algebry i geometrii, otworzyło drzwi do rozwiązania problemu opierającego się specjalistom od dziesięcioleci. Historia samego odkrycia ma w sobie posmak dobrego dramatu. Po inspirującej rozmowie z profesorem Tamuzem, studenci pracowali nad pomysłem do późna w nocy. Gdy następnego ranka przedstawili wyniki, stało się jasne, że zagadka została rozwiązana. Jak później przyznał Pooya Vahidi Ferdowsi, cały zespół był po prostu zachwycony.
Co tak naprawdę rozwiązano i czemu to jest trudniejsze, niż brzmi?
Warto doprecyzować, że nie chodzi o pojedyncze błądzenie losowe na zwykłej siatce, tylko o całą klasę błądzeń wykonywanych na strukturach zwanych grupami (to jeden z fundamentów nowoczesnej algebry). Grupy potrafią mieć geometrię zaskakująco bogatą: czasem przypominają przestrzeń, w której łatwo wrócić w okolice startu, a czasem taką, w której każdy krok odpycha cię coraz dalej od tego, co było wcześniej. I właśnie w tym krajobrazie pojawia się pytanie o pamięć.
Matematycy od lat wiedzieli, że są światy, w których losowe ścieżki ostatecznie zaczynają wyglądać podobnie, jakby los wygładzał różnice z początku. Ale są też takie, w których to się nie dzieje: w praktyce start i wczesne wybory zostawiają ślad, którego nie da się już wymazać. Problem polegał na tym, że brakowało prostego warunku: kiedy z góry wiemy, z którą sytuacją mamy do czynienia?
Nowość polega na tym, że zamiast grzęznąć w czysto probabilistycznych argumentach, dało się to zobaczyć geometrycznie – znaleźć kryterium, które rozcina te przypadki jak nożem. To trochę jak w fizyce: nie musisz symulować miliona cząstek, jeśli umiesz wskazać parametr, po którego przekroczeniu materiał zmienia fazę.
Dlaczego to może odbić się echem poza matematyką?
Random walk to jedno z tych narzędzi, które siedzi pod spodem niezliczonych metod obliczeniowych: od wyszukiwarek, przez rekomendacje, po analizę sieci. Jeśli wiesz, czy proces ma tendencję do zbiegania się, możesz lepiej przewidywać, czy algorytmy dojdą do siebie (konwergencja), czy będą uparcie zależeć od startu, inicjalizacji albo wczesnych losowych decyzji.
W biologii i fizyce to z kolei różnica między dyfuzją, która miesza wszystko do jednorodności, a ruchem, który zostawia trwałe ślady i lokalne nierówności. W naukach społecznych brzmi to jak formalna wersja starej obserwacji: niektóre społeczeństwa potrafią amortyzować szoki i wracać do równowagi, a inne kumulują skutki wczesnych zdarzeń i latami nie potrafią z nich wyjść.
Najciekawsze jest jednak to, że kryterium jest geometryczne. To daje nadzieję na praktyczne testy własności systemów: zamiast budować gigantyczne symulacje, czasem da się sprawdzić strukturę (sieci, przestrzeni stanów, relacji) i z góry wiedzieć, czy model ma prawo być stabilny.