Amplituhedron to obiekt, który od ponad dekady fascynuje fizyków. Jego objętość pozwala obliczyć tzw. amplitudy rozpraszania – kluczowe wartości określające, z jakim prawdopodobieństwem cząstki, takie jak gluony, zderzą się i zamienią w inne. To właśnie one opisują mikroświat interakcji zachodzących w zderzeniach cząstek elementarnych. Problem w tym, że tradycyjne metody prowadzą do obliczeniowego chaosu – przy większej liczbie cząstek równania rozrastają się do milionów terminów, a wynik końcowy i tak okazuje się zaskakująco prosty.
Czytaj też: Fizyka kwantowa na nowo zdefiniowana. Naukowcy znaleźli sposób na ominięcie legendarnej bariery
Przez dziesięciolecia fizycy korzystali z tzw. diagramów Feynmana – schematycznych rysunków, które symbolicznie przedstawiają wymianę cząstek. Jednak już przy kilku zderzających się gluonach obliczenia stają się niemal niewykonalne. Na początku XXI wieku pojawiła się metoda rekurencji Britto-Cachazo-Feng-Witten (BCFW), która rozbijała złożone procesy na prostsze składniki. Mimo to i ona pozostawała jedynie zgrabnym narzędziem rachunkowym, a nie wyjaśnieniem głębszej struktury fizyki.
W 2013 r. fizyk Nima Arkani-Hamed z Institute for Advanced Study w Princeton i jego doktorant Jaroslav Trnka zauważyli, że za tymi pozornie niekończącymi się równaniami kryje się czysta geometria. Odkryli, że amplitudy można przedstawić jako objętości pewnego abstrakcyjnego kształtu – amplituhedronu – powiązanego z tzw. dodatnim Grassmannianem, przestrzenią, w której każda płaszczyzna ma wyłącznie dodatnie współczynniki. To odkrycie było jak spojrzenie w głąb matematycznego klejnotu: złożone obliczenia okazały się po prostu cieniami geometrycznego obiektu.
Origami i fizyka mają więcej wspólnego, niż wielu się wydaje
Wkrótce potem pojawiło się pytanie, które przez lata pozostawało otwarte: czy amplituhedron da się “rozciąć” na prostsze elementy – tak, by każdy fragment odpowiadał pojedynczemu składnikowi równania, a całość tworzyła spójną mozaikę bez luk i nakładania? Był to tzw. problem triangulacji amplituhedronu. Dla uproszczonej, matematycznej wersji udało się to udowodnić w 2021 r. Ale jego fizyczny odpowiednik, “momentum amplituhedron”, pozostał tajemnicą.
Czytaj też: Światło uwięzione w mozaice Penrose’a. Powstał pierwszy kwazikryształ polarytonowy
To właśnie ten drugi przypadek interesował fizyków najbardziej, bo wiąże się bezpośrednio z realnymi zderzeniami cząstek i ich pędami. Jednak był też znacznie trudniejszy do opisania matematycznie. Przez ponad dekadę problem pozostawał nierozwiązany. Dopiero młody matematyk Pavel (Pasha) Galashin z Cornell University zaproponował zaskakujące rozwiązanie – oparte nie na fizyce, lecz na… origami.
Galashin nie planował badać ani amplituhedronu, ani składania papieru. Jako doktorant Alexandra Postnikova na MIT analizował powiązania między modelem Isinga (opisującym ferromagnetyzm) a dodatnim Grassmannianem. Przeglądając literaturę, natrafił jednak na prace dotyczące wzorów zagięć origami (ang. crease patterns), które matematycy analizują, by ustalić, czy dany układ linii da się złożyć w płaski kształt bez rozrywania papieru.
Jedno z pytań brzmiało: jeśli znamy tylko granice takiego wzoru – układ krawędzi kartki przed i po złożeniu – czy zawsze istnieje pełen zestaw zagięć, który spełni te warunki i da się spłaszczyć? To przypominało metody stosowane w badaniu Grassmannianu, gdzie analiza granic obiektów często ujawnia ich wewnętrzną strukturę.
W 2023 r. Galashin uświadomił sobie, że ten problem da się przetłumaczyć na język amplituhedronu – i to właśnie jego trudniejszej, fizycznej wersji. Każdy segment granicy wzoru origami można bowiem opisać jako wektor w przestrzeni dwuwymiarowej, a jego pozycję po złożeniu – jako nowy wektor powiązany z momentem cząstki. Po połączeniu ich w czterowymiarowe wektory, Galashin odkrył, że otrzymane punkty znajdują się dokładnie wewnątrz momentum amplituhedronu. Innymi słowy, granice zagięć papieru “rysują” geometrię zderzeń cząstek.
Dowód, który złożył się sam
Z tego pomysłu narodził się dowód długo poszukiwanego twierdzenia o triangulacji. Galashin stworzył algorytm, który dla każdego wzoru granicznego generował unikalny wzór zagięć – zawsze taki, który da się złożyć w płaski kształt. Następnie przekształcał te wzory w grafy dwukolorowe, które od czasów Postnikova służą matematykom do opisu regionów dodatniego Grassmannianu. Każdy z takich grafów odpowiadał jednemu fragmentowi amplituhedronu.
Ponieważ algorytm Galashina przyporządkowywał każdemu wzorowi granicznemu tylko jeden wzór zagięć, nie mogły powstawać nakładające się regiony. A ponieważ każda możliwa granica generowała poprawny punkt wewnątrz amplituhedronu, w strukturze nie mogły też istnieć żadne luki. Wynik był jednoznaczny: momentum amplituhedron da się całkowicie “złożyć” z prostszych elementów, tak jak origami z pojedynczych fałd papieru.
Odkrycie Galashina wywołało w świecie matematyki i fizyki niemałe poruszenie. Sam Galashin nie krył zdumienia:
Nie mam dobrego wyjaśnienia, dlaczego granice origami są punktami w amplituhedronie. Ale to działa.
Nowe podejście nie tylko rozwiązuje dawną zagadkę, ale też otwiera nowe możliwości. Jeśli wzory origami potrafią opisać geometrię zderzeń cząstek, być może pomogą w innych dziedzinach – od teorii ferromagnetyzmu po analizę bardziej złożonych interakcji kwantowych. Badacze marzą, by kiedyś obliczać amplitudy rozpraszania bez konieczności rozbijania ich na miliony składników – wystarczyłoby znać objętość amplituhedronu, niczym prostą bryłę w przestrzeni matematycznej.