Początki tej fascynującej opowieści sięgają końca XVII wieku, kiedy to książę Rupert z Renu postawił nietypowy zakład. Twierdził, że można tak wydrążyć tunel w jednym sześcianie, aby przepuścić przez niego drugi sześcian tej samej wielkości. Pomysł brzmiał absurdalnie – jak coś może przejść przez otwór w identycznej kopii samego siebie?
Czytaj też: Mierzenie czasu na bezludnej wyspie jest możliwe. Matematyka ujarzmiła chaos
Odpowiedź przyszedł w 1693 r. od matematyka Johna Wallisa, który wykazał, że jeśli tunel wydrąży się wzdłuż wewnętrznej przekątnej sześcianu, można go odpowiednio poszerzyć, aby zmieścił drugi sześcian. Co ciekawe, ten drugi może być nawet o 4 proc. większy od tego z tunelem. Cała sztuka polega na odpowiednim ustawieniu – sześcian przechodzący przez tunel musi być zorientowany tak, aby jego cień przybrał kształt sześciokąta, który jest mniejszy niż kwadratowy przekrój tunelu.
Ta niezwykła zdolność wielościanu wypukłego do przejścia przez tunel w swojej kopii otrzymała nazwę właściwości Ruperta. Problem dotyczy wyłącznie wielościanów wypukłych – kształtów o płaskich ścianach, pozbawionych wklęsłości i wypukłości, takich jak sześcian czy ostrosłup.
Noperthedron to wyjątkowy wielościan
Przez setki lat sześcian pozostawał jedynym znanym przykładem. Jak wspomina Jakob Steininger: “przez setki lat znaliśmy tylko sześcian”. Sytuacja zaczęła się zmieniać dopiero w 1968 r., gdy Christoph Scriba udowodnił, że czworościan i ośmiościan również posiadają właściwość Ruperta.
Czytaj też: Matematyka ukryta w chaosie geologicznym. Naukowcy odkryli wzorzec w historii Ziemi
Prawdziwy przełom nastąpił w ostatniej dekadzie, gdy matematycy zawodowi i pasjonaci odkryli tunele Ruperta w wielu symetrycznych wielościanach wypukłych. Dwunastościan, dwudziestościan, a nawet kształt piłki nożnej, czyli dwudziestościan ścięty – wszystkie okazały się posiadać tę fascynującą właściwość.
Rozwój technologii obliczeniowej znacząco przyspieszył te badania. Joseph O’Rourke z Smith College zauważa:
Świat mieszania obliczeń i geometrii dyskretnej rozkwitł, umożliwiając tego rodzaju obliczenia.
Sukcesy następowały jeden po drugim, a właściwość Ruperta wydawała się tak powszechna, że matematycy zaczęli uważać ją za uniwersalną cechę wszystkich wypukłych wielościanów. Brakowało jednak kształtu, który by tej reguły nie przestrzegał.
Tom Murphy z Carnegie Mellon University postanowił systematycznie poszukać wyjątku. Stworzył setki milionów kształtów – losowe wielościany, formy o specjalnych symetriach, bryły ze świadomie przesuniętymi wierzchołkami. Jego algorytm z łatwością znajdował tunele Ruperta dla niemal każdego z nich.
Steininger i Yurkevich poszli podobną drogą, opracowując własny algorytm do wyszukiwania tuneli Ruperta. W 2021 r. wysunęli hipotezę, że dwudziestościan rombowy może nie być Rupertem.
Jak wspomina Steininger:
Myślę, że to było pierwsze przypuszczenie, że mogą istnieć bryły, które nie mają tej właściwości.
Przełom nastąpił podczas jednej z ich regularnych matematycznych dyskusji. Naukowcy nazwali swoje odkrycie noperthedron, łącząc słowo “Rupert” z angielskim “nope” (nie). To niezwykle złożony kształt składający się z 90 wierzchołków i 152 ścian, w tym 150 trójkątów i dwóch regularnych 15-kątów.
Matematyka u progu nowej ery odkryć
Udowodnienie, że noperthedron nie posiada właściwości Ruperta, wymagało niezwykłego połączenia matematycznej teorii z mocą współczesnych komputerów. Steininger i Yurkevich opracowali dwa kluczowe twierdzenia. Pierwsze, nazwane globalnym, pozwala wykluczyć duże bloki orientacji, gdy cień kształtu nie mieści się w przekroju tunelu. Drugie, lokalne twierdzenie, dotyczy przypadków, gdy można znaleźć trzy specjalne wierzchołki na granicy cienia.
Najbardziej imponujący był jednak zakres przeprowadzonych obliczeń. Przestrzeń parametrów orientacji została podzielona na około 18 milionów małych bloków, z których każdy musiał zostać przeanalizowany pod kątem możliwości przejścia Ruperta. Wynik był jednoznaczny – żaden z nich nie doprowadził do znalezienia tunelu. Skala obliczeń pokazuje, jak daleko posunęła się współczesna matematyka w wykorzystywaniu mocy obliczeniowej do rozwiązywania teoretycznych problemów.
Odkrycie noperthedronu ma fundamentalne znaczenie dla matematyki. Po raz pierwszy w historii matematycy mają konkretny przykład wielościanu wypukłego, który definitywnie nie może przejść przez siebie. Obalenie długoletniej hipotezy otwiera zupełnie nowe kierunki eksploracji geometrycznej. Matematycy mogą teraz systematycznie poszukiwać innych kształtów pozbawionych właściwości Ruperta.
To odkrycie pokazuje również, jak bardzo zmieniła się współczesna matematyka. Połączenie teoretycznych twierdzeń z masowymi obliczeniami komputerowymi pozwala rozwiązywać problemy, które wcześniej wydawały się nieosiągalne. To nowe podejście może zrewolucjonizować wiele innych dziedzin geometrii.